Calcul du prix forward d’une action avec dividende
Les contrats forward permettent à un investisseur de fixer, à l’avance, le prix d’un actif, en vue de le vendre ou de l’acheter, dans une quantité précise. Ces contrats, échangés de gré à gré, portent souvent sur des actions. Comment calculer le prix forward d’une action avec dividende ? Comment les flux sont-ils actualisés et pris en compte dans le prix ?
De nombreuses actions paient des dividendes. Ces flux doivent être intégrés au calcul du prix forward. On ne se préoccupera, dans ce calcul, que des dividendes versés avant l’échéance du contrat. Ceux intervenant après l’échéance du contrat n’ont pas d’impact sur le prix de celui-ci.
Commençons d’abord par une action simple, versant une série de dividendes pendant la durée de vie du contrat. On sait que la valeur présente de ces dividendes est égale à :
Avec :
– 
– r : taux sans risque
En tenant compte des dividendes, la formule du prix forward est égale :
Autrement dit, on retranche du cours initial de l’action la valeur présente cumulée des dividendes attendus jusqu’à l’échéance du contrat forward, avant de placer le tout au taux sans risque. Plus les dividendes attendus sont élevés, plus le prix forward en date initiale est faible. Cela reflète le fait que les détenteurs d’un contrat forward ne bénéficient pas des flux intermédiaires versés par l’action en question, contrairement aux investisseurs qui la détiendraient directement.
Considérons par exemple une action versant un dividende de 0,60€ dans 10 jours et un dividende de 0,72€ dans 192 jours. Cette action évolue présentement à 55€, tandis que le taux sans risque est de 5%. On cherche à calculer le prix d’un contrat forward à 255 jours.
La valeur présente des dividendes est égale à :
Le temps restant jusqu’à l’échéance du contrat forward est T = 255/365. Par conséquent, le prix du contrat forward est égal à :
Nous étions ici en présence d’une action versant des dividendes connus à l’avance. Une autre façon de calculer le prix d’un contrat forward et d’intégrer les dividendes est de considérer ces derniers comme un pourcentage continu du prix de l’action. On note généralement ce taux de dividende q. La démarche s’applique aussi bien à des actions qu’à des portefeuilles, et facilite grandement le calcul, d’où sa popularité. Elle permet également les approximations – en présence de très nombreux titres dans un portefeuille, il est souvent plus aisé de raisonner à travers un taux de dividende que de répertorier les dividendes un par un, avec les montants détachés et les dates de versement.
Les dividendes étant payés en continu, le taux d’actualisation doit également l’être. Le prix forward peut alors s’écrire :
Ou :
Le prix de l’action est d’abord actualisé via le taux de dividende, ce qui revient à enlever la valeur présente des dividendes. Le tout est ensuite investi au taux sans risque jusqu’à l’échéance T.
Un gérant de fortune s’est par exemple construit un portefeuille versant un taux de dividende de 5%. Ce portefeuille a une valeur initiale de 80€ tandis que le taux sans risque en composition continue est de 2%. La valeur d’un contrat forward d’échéance 3 ans est égale à :
