Mesure phare de la finance de marché, la volatilité d’un actif représente sa propension à subir des mouvements de prix plus ou moins prononcés, et donc le risque qu’il implique. Encore faut-il distinguer la volatilité réalisée d’un actif, celle qui est objectivement observable, de celle qui est attendue, appelée volatilité implicite. Comment calculer la volatilité réalisée d’une action par exemple ? Quelle est généralement la formule retenue par les opérateurs de marché ? Définition, à travers un exemple numérique.

Volatilité réalisée : définition

La volatilité réalisée représente la variabilité des rendements d’un actif et, par conséquent, le risque que supporte un investisseur en détenant un tel actif. Cette volatilité peut être calculée aussi bien sur des actions, sur des indices, sur des paires de devises, etc. Lors d’un krach boursier ou d’une forte baisse sur les marchés, la volatilité augmente fortement. Bien que la volatilité réalisée d’un actif puisse connaître des « pics », celle-ci a également tendance à revenir à sa moyenne.

L’une des façons les plus simples de mesurer la volatilité réalisée est d’étudier les log-rendements d’un actif, sur une période donnée, pouvant aller de quelques jours à plusieurs années. Le choix de la période est important. Plus le laps de temps choisi est court, plus le niveau volatilité pourra être affecté par un fort mouvement isolé. Plus le laps de temps choisi est long, plus les mouvements isolés seront dilués dans le temps.

Il est par ailleurs possible de prendre en compte des log-rendements sur différentes fréquences. Si l’observation de mouvements quotidiens est la norme, rien n’empêche les investisseurs d’analyser des mouvements hebdomadaires ou des mouvements sur quelques heures (volatilité intra journalière).

La volatilité est enfin exprimée en pourcentage et est annualisée. Elle représente alors l’écart-type des rendements constatés, en partant du principe que les rendements sont tous indépendants.

Volatilité réalisée : calcul et exemple

La formule retenue pour le calcul de la volatilité réalisée est généralement la suivante :

Avec :
– S_i : prix de l’action en date i
– N : nombre de jours

Prenons l’exemple de l’action BNP Paribas dont les prix de clôture, et donc les rendements journaliers, sont analysés entre le 27 février 2015 et le 13 mars 2015.

La volatilité réalisée par l’action, sur ce laps de temps, est de 23,6%.

L’un des déterminants essentiels lors du calcul du prix d’une option est l’évaluation de la volatilité implicite. L’ampleur des fluctuations attendues a un impact direct sur la cherté d’une option. Contrairement aux autres déterminants tels que le taux d’intérêt sans risque ou le prix actuel du sous-jacent, la volatilité implicite n’est pourtant pas directement observable. Comment les opérateurs l’évaluent-ils ? Qu’est-ce que cette volatilité représente ?

Pour évaluer la volatilité implicite d’un actif, les opérateurs se reposent avant tout sur les cours passés, c’est à dire sur la volatilité historique. Cependant, l’évolution passée ne pouvant prédire l’évolution future, cette méthode pose de sérieuses questions. Quelle période passée retenir pour évaluer la volatilité à venir ? Trois mois, un an, cinq ans ? Quels rendements prendre en compte ? Les rendements quotidiens ou hebdomadaires ? L’approche empirique peut-elle être complétée par d’autres méthodes ?

L’alternative la plus commune est de se positionner simplement vis-à-vis de la volatilité implicite prise par les autres opérateurs. Sur un marché d’options, chacun peut observer les cours proposés par les différents intervenants, selon leur prix d’exercice ou leur maturité. A partir de ces prix d’option, chacun peut donc retrouver la volatilité implicite choisie par ces intervenants. Il suffit pour cela de réutiliser, à tâtonnements, le modèle de Black-Scholes en insérant différentes volatilités implicites, jusqu’à trouver celle qui fait aboutir le modèle à un prix d’option équivalent à celui observé.

Il convient de garder à l’esprit que la volatilité implicite n’est pas constante dans le temps, et qu’elle peut elle-même évoluer au gré des incertitudes ou des mouvements boursiers. En période de remous, les opérateurs peuvent devenir de plus en plus averses au risque et penser que la situation continuera de se dégrader. Non seulement les fluctuations attendues seront donc grandes, mais les stratégies de couverture via options (achat de puts notamment) renchériront le prix des options, et donc leur volatilité implicite – c’est la loi de l’offre et de la demande. En période de calme, les opérateurs s’attendront à peu de fluctuations, et leur relatif désintérêt pour les stratégies de couverture fera descendre les prix d’option, et donc la volatilité implicite contenue dans ces prix.

Naturellement, la volatilité implicite est différente d’une action à une autre, mais également d’un secteur à un autre. Une action Alcatel-Lucent, très risquée car liée à une entreprise et à une activité fragilisées, sera plus volatile qu’une action Procter & Gamble, liée à une entreprise aux résultats financiers stables et à l’activité prévisible. Mais, pour une même action, on retrouve également différentes volatilités implicites, en fonction du prix d’exercice ou de la durée résiduelle retenue. En principe, les puts très court terme, en dehors de la monnaie, possèdent une volatilité implicite bien plus élevée que les calls à la monnaie. On retrouve fréquemment des phénomènes tels que le « smile de volatilité » et le « skew ».

Les produits dérivés financiers se négocient majoritairement « de gré à gré », c’est à dire sur des marchés non organisés, peu ou pas réglementés, dans lesquels s’accordent directement deux contreparties. Difficile alors d’estimer de manière fiable les volumes d’échanges ou la croissance d’un tel marché, même si depuis les années 1970, les produits dérivés semblent avoir gagné une place prépondérante dans les échanges financiers. Fin 2013, la Banque des règlements internationaux estimait que le notionnel des produits dérivés, toutes classes d’actifs confondues (actions, crédit, taux d’intérêt, matières premières, devises), dépassait les USD 710.000 Mds. Quels sont les facteurs qui ont conduit à une telle importance ?

• La diffusion, à partir de 1973, du modèle d’évaluation des options de Fischer Black et Myron Scholes, a considérablement favorisé l’essor du marché. Les opérateurs ont alors bénéficié d’un modèle fermé, simple d’utilisation, servant de référentiel à l’ensemble du marché pour évaluer les options. Parfois jugé comme imparfait ou incomplet, le modèle Black-Scholes a néanmoins renforcé la liquidité du marché en améliorant la compréhension des prix.

• L’apparition des bourses à terme, comme la Chicago Board Options Exchange (CBOE) en 1973, la London International Financial Futures Exchange (LIFFE) en 1982 ou l’EUREX en 1988 ont considérablement accru la liquidité et la standardisation du marché. Les options listées s’articulent par exemple autour de prix d’exercice ou de maturité communes, favorisant les comparaisons ou le suivi des prix.

• Les chocs pétroliers de 1973 et 1979, en provoquant à la fois inflation et volatilité, ont renforcé le besoin de couverture des acteurs économiques. A partir des années 1980, le pétrole, sous ses différentes formes, jouit de l’apparition d’instruments de couvertures divers (futures, options).

• La suppression de la parité or et l’effondrement du système de Bretton Woods ont provoqué l’abandon de la fixité des taux de change au profit d’un système de taux de change variables.

• La diffusion des technologies de l’information et les progrès en matière de calcul, à partir des années 1970, ont également offert un socle technique favorisant le développement des produits dérivés.

Les produits dérivés sont-ils forcément modernes ? Les exemples de couverture ou de spéculation ne manquent pas dans le passé. Les riziculteurs japonais utilisaient déjà des contrats à terme pour fixer le prix futur de leur récolte, dès le XVIIème siècle. A la même période, mais à des milliers de kilomètres de là, la guilde indépendante des horticulteurs néerlandais tentait d’établir un cadre réglementaire au négoce… d’options sur bulbes de tulipe !

Un exemple trivial de stratégie de trading à haute fréquence est l’usage d’un algorithme permettant d’interpréter une annonce avant que celle-ci ne soit lue sur les terminaux boursiers. Si une Banque centrale modifie ses taux d’intérêt directeurs et communique sa décision officiellement et de façon électronique aux acteurs du marché, un algorithme sera capable d’interpréter automatiquement le communiqué avant que les intervenants humains n’aient le temps de lire le changement de politique monétaire et prendre des positions subséquentes, d’où la possibilité d’arbitrage.

Les prises de position découlant du trading haute fréquence ne sont pas destinées à être conservées au-delà de quelques micro-secondes. Les établissements actifs dans ce type de trading sont réputés apporter de la liquidité au marché, mais sont parfois décriés pour la volatilité exacerbée qu’ils induisent de par la passation automatique et conséquente d’ordres, comme lors du Flash crash, en mai 2010.

Écart-type des variations de prix journalières, annualisation d’une somme de logarithmes, portefeuille vega-neutre, modèle GARCH… Que de concepts abscons pour décrire l’une des composantes principales de la finance : la volatilité. Peut-on établir une définition de la volatilité, sans formule mathématique ?

Qu’est-ce que la volatilité, en général ?

Les actions sont quasiment impalpables (hormis les certificats prouvant leur détention), mais connues de tous. Les matières premières nous entourent au quotidien… La volatilité demeure, elle, bien invisible, ce qui la rend d’autant plus difficile à appréhender. Il existe pourtant plusieurs façons de la mesurer. On distinguera toutefois deux types de volatilité : la volatilité historique et la volatilité implicite.

La volatilité historique mesure la propension d’un sous-jacent à changer de prix, sur une période donnée. Par exemple, plus une action a connu une évolution erratique de son prix en Bourse, plus on dira qu’elle a été « volatile ». Pour compliquer un peu cette définition, il existe souvent plusieurs régimes de volatilité historique. En général, lorsque les marchés se portent mal, la volatilité des actions tend à être plus forte. L’éclatement de la bulle des subprimes, l’accident nucléaire de Fukushima ou le flash crash sont autant d’exemples récents de facteurs ayant poussé la volatilité des actions à la hausse. Lorsqu’au contraire, l’économie se porte bien et qu’aucune source d’inquiétude majeure n’est en vue, les marchés évoluent plus calmement, d’où une volatilité réalisée plus faible.

La volatilité implicite est de son côté décrite comme l’estimation que font les opérateurs de marché du comportement futur d’un sous-jacent. L’une des mesures les plus connues est l’indice VIX, développé par le Chicago Board Options Exchange (CBOE). Surnommé l’ « indice de la peur », le VIX est une mesure agrégée et pondérée des volatilités implicites à 30 jours utilisées dans les options listées portant sur l’indice Standard & Poors 500. Bien que complexe dans sa construction, l’indice VIX possède l’attrait indéniable de donner une estimation, un chiffre unique, à un concept relativement obscur.

Si les opérateurs craignent souvent une hausse de la volatilité, souvent synonyme de baisse des marchés, celle-ci leur permet pourtant de réaliser des gains rapides, en cas de bon positionnement. En période de forte volatilité, les actifs voient en effet leur valeur chuter, créant d’importantes opportunités d’achat, qui se présenteraient plus rarement en période calme, où les marchés seraient probablement davantage d’être haussiers.

Pour se prémunir d’une baisse des marchés et d’une forte volatilité, les opérateurs peuvent se couvrir en achetant des options de vente ou utiliser le concept de diversification. Ce dernier veut en effet que les actifs contenus à l’intérieur d’un portefeuille, s’ils sont suffisamment différents (secteurs, régions, classes d’actifs) et alloués efficacement, contrebalancent l’un l’autre leur volatilité, grâce à des corrélations faibles ou négatives entre eux.

Un variance swap est un actif financer comme un autre, il est donc possible de calculer son mark-to-market ou juste valeur. Au commencement, s’agissant d’un swap, celle-ci est de zéro. Mais comment calculer le mark-to-market d’un variance swap en temps t (t₀ < t < T) ? Rappel : définition du variance swap

Pour rappel, un swap de variance est un contrat permettant d’échanger un montant de variance réalisée contre une variance strikée, défini par l’équation suivante :

Avec Variance Notional = Vega Notional / ( 2 * Strike)

Calcul du mark-to-market

Un variance swap possède une caractéristique remarquable qui rend l’évaluation de son mark-to-market simplifiée : la variance est additive. Pour ce type de contrat, on peut donc dire que :

Pour un variance swap évalué en temps t, on peut donc identifier une variance déjà réalisée de t₀ jusqu’à t, et une variance encore non réalisée qui ira de t à T. En demandant un prix pour VarSwap en date t avec maturité T, on est donc capable de contrebalancer la partie non réalisée.

Le mark-to-market d’un variance swap est donc égal à :

Avec :
• K_var : la volatilité striké initialement
• NewK_var : le strike d’un variance swap commençant en t, avec maturité T
• PV_t(T) : valeur d’un zéro-coupon en t avec maturité T
• RV(0,t) : la volatilité réalisée depuis le commencement du swap jusqu’à t
• N : notionnel du swap (exprimé en variance)

Exemple de calcul

Soit un variance swap initial d’un an, dont le strike était de 14% et le Vega notionnel était de $100,000. Au bout du 9ème mois, on cherche à évaluer la juste valeur de ce swap, sachant que la volatilité réalisée jusqu’à présent est de 15%, que le taux d’intérêt 3 mois est de 3% et que le strike d’un variance swap 3 mois serait de 17%.

Imposibilité d’appliquer la formule pour un volatility swap

Si la variance est additive, la volatilité ne l’est pas. Par conséquent, les formules ci-dessus ne peuvent être appliquées pour le calcul du mark-to-market d’un volatility swap.

Trader un variance swap peut s’avérer rapidement hasardeux à cause de la convexité du payoff de celui-ci. En effet, pour un vendeur de variance, lorsque la volatilité réalisée observée sur un sous-jacent tend vers de grandes valeurs, la perte potentielle est virtuellement illimitée. D’où la nécessité de fixer un cap sur la volatilité réalisée (en général 2,5 fois le strike), acceptée comme une convention dans le marché. Mais qu’entend-on au juste par risque de convexité ?

Comprendre la convexité d’un variance swap

Pour rappel, un variance swap est un contrat d’échange de variance réalisée vs variance strikée. Le profil d’un variance swap est le suivant :

Avec :

Et :

Avec :
– S_t = niveau du sous-jacent en date t
– N = nombre d’observations (jours de trading)

La première équation montre clairement le profil convexe du variance swap. Pour un investisseur étant long d’un variance swap (ie recevant la variance réalisée et payant une variance strikée à maturité), le gain potentiel est illimité tandis que la perte maximale est limitée à :

Pour un Vega Notional de $100,000 et un strike de 20%, l’investisseur long du variance swap ne peut donc perdre plus de ($100,000/2) * 20 = $1,000,000.

La convexité d’un variance swap en image

Convexité et durée de vie du Variance Swap

Plus la durée de vie du Variance Swap est courte, plus le risque de convexité est important. Ceci est dû au nombre limité d’observations (N expected). En effet, imaginons un Variance Swap d’un mois sur une action, soit à peu près 22 jours de trading. Si, sur l’une de ces 22 observations, l’action, dont la volatilité ordinaire est de 16% (soit approximativement +/-1% de variation quotidienne), décroche sur un seul jour de 5% suite à un crash sur le marché ou à une mauvaise nouvelle, il n’existe que 21 observations pour « compenser » ce mouvement exceptionnel et retrouver son régime de volatilité normal. La volatilité réalisée sera à terme particulièrement tirée à la hausse par les mouvements brusques étant survenus. Un tel risque serait atténué dans un Variance Swap d’une durée supérieure.

De 1945 à 2011, l’indice S&P 500 a connu une performance positive sur 78% des périodes s’étalant de novembre à avril selon Sam Stovall, stratégiste chez S&P Capital IQ. La performance (hors dividendes) observée est de +6,8%. A contrario, sur les périodes s’étalant de mai à octobre, la fréquence des performances positives n’est plus que de 64%, pour une performance moyenne observée de +1,3%.

Un investisseur aurait donc généré un profit conséquent en appliquant l’adage « Sell in May and Go away » sur les six dernières décennies. Ceci est surtout dû au fait que la période s’étalant de mai à octobre s’est illustrée par des krachs boursiers restés dans les annales (Vendredi noir en 1987, Débâcle du fonds Long-Term Capital Management en 1998, Faillite de Lehman Brothers en 2008, Flash crash en 2010). Parmi les facteurs de saisonnalité figure la pratique du window dressing de la part des gérants de portefeuilles. En milieu d’année, ceux-ci auraient tendance à liquider leurs positions de qualité pour se porter sur des actifs plus risqués, potentiellement plus rémunérateurs. En fin d’année, lorsque l’heure de rendre des comptes au public sonne, les investisseurs liquident leurs positions risquées afin de revenir sur des positions réputées plus sûres. Par ailleurs, la faiblesse relative des volumes en période estivale expliquerait également la volatilité plus importante qui règne sur les marchés boursiers pour la période s’étalant de mai à octobre.

Un trader d’option peut être amené à couvrir son risque de volatilité. Il peut le faire soit en prenant une position inverse sur d’autres options pour annihiler son vega, soit directement à travers des produits basés directement sur la volatilité, tels que des Variance ou Volatility Swap. Un spéculateur peut, quant à lui, directement prendre une position sur la volatilité d’un sous-jacent.

Le Variance Swap : Définition

Le Variance Swap (VarSwap) est un contrat permettant d’échanger un montant de variance réalisée sur un laps de temps donné, contre un montant de variance fixé à l’avance. L’échange se fait selon la formule suivante :

S’agissant d’un swap, aucun flux n’est échangé en date initial. A maturité, si la volatilité réalisée est supérieure à la volatilité strikée, le vendeur du VarSwap paie le montant décrit par l’équation ci-dessus. Si la volatilité réalisée est inférieure à la volatilité strikée, le vendeur du VarSwap reçoit le montant décrit par l’équation ci-dessus.

Pour un VarSwap où l’investisseur est acheteur de volatilité, les flux potentiels sont les suivants :

Le Variance Swap, un exemple de calcul

Sans entrer dans les méthodes de construction du VarSwap, il convient de définir les différents termes de l’équation pour comprendre quel est le montant exact de l’échange à maturité.

Variance Notional. Il s’agit du montant de la transaction. Celui-ci est égal à :

Avec cette convention, si la volatilité réalisée est supérieure d’un point à la volatilité strikée, le profit du VarSwap est approximativement égal au Vega Notional (pour une volatilité réalisée assez proche du strike). Les traders s’expriment donc en Vega Notional car il s’agit d’une mesure permettant de calculer plus rapidement le profit potentiel à tirer d’une telle transaction.

Exemple : prenons un VarSwap 1 an sur le S&P500, avec un Vega Notional de 100,000 USD, et un Strike de 12%. Si, dans un an, la volatilité réalisée est de 13%, l’investisseur reçoit un montant proche de (13 – 12) * 100,000 = 100,000 :

Realized Vol. La volatilité d’un sous-jacent est définie de plusieurs façons mathématiques. On sait qu’il s’agit de l’écart type, c’est-à-dire de la propension d’un élément à s’écarter de sa moyenne. Pour un VarSwap, la définition de la volatilité réalisée est la suivante :

Avec :
– S_t = niveau du sous-jacent en date t
– N = nombre d’observations (jours de trading)

Strike. Il s’agit tout simplement du montant de volatilité accordée entre les deux contreparties avant d’entrer dans la transaction. Il s’agira de la référence du swap.

Le cap du Variance Swap à 2,5

Généralement, les VarSwap sont échangés avec un cap de 2,5x sur la volatilité réalisée. Ceci est dû au risque de convexité évident dans le calcul d’une volatilité. En effet, sans cap, un investisseur étant short vol peut théoriquement perdre une somme infinie (σ2), il n’existe pas de borne supérieure mais simplement une borne inférieure (0). Par exemple, pour un VarSwap avec un strike de 30, la plus haute volatilité réalisée observable dans le contrat sera 30 x 2,5 = 75. Le facteur de 2,5 n’a pas réellement de fondement mathématique, il s’agit simplement d’une convention adoptée par les traders sur le marché.

Utilisation de Variance Swap pour construire des Trades de dispersion

Les Variance Swaps sont également connus pour leur rôle dans les trades de dispersion où l’investisseur prend une vue sur la corrélation entre un indice et ses sous-jacents. Généralement, l’investisseur souhaite être short correlation. Pour cela, il achète des variance swaps sur chacun des constituants d’un indice et vend un variance swap sur l’indice lui-même.

Plusieurs scénarios sont possibles à maturité. Si l’option n’est pas activée, l’investisseur récupère l’intégralité de son capital. Si, au contraire, la barrière a été activée, l’investisseur peut être exposée à une perte.Si le sous-jacent termine au-dessus du prix d’exercice de l’option, le capital de l’investisseur n’est pas entamé. Si, au contraire, le sous-jacent termine en-dessous du prix d’exercice de l’option, le capital de l’investisseur est entamé, ce dernier récupérant le sous-jacent ou du cash.