Le métier d’analyste quantitatif laisse peu de place au hasard. Connaissances poussées en probabilités ou en statistiques, techniques de modélisation financière, programmation informatique, compréhension des produits dérivés exotiques… Si une formation universitaire de pointe est souvent nécessaire, encore faut-il passer les redoutables entretiens des banques d’investissement. Les choses peuvent rapidement se corser sous la pression du recruteur ou en cas de mauvaise préparation. Les difficultés pourraient même redoubler lors des assessment centers.

Comment démontrer le lemme d’Itô ? Êtes-vous capable de démontrer la formule de Black-Scholes ? Pouvez-vous énoncer le théorème de Girsanov ? Quels sont les modèles à volatilité stochastique que vous pouvez citer ? Qu’est-ce qu’un marché complet ? Qu’est-ce qu’un ajustement de convexité ? Savez-vous calculer une option asiatique ?

Voici une sélection de livres pour préparer au mieux son entretien de quant. Connaissances de base, devinettes et épreuves de raisonnement seront au rendez-vous.

• La Finance quantitative : En 50 questions, Paul Wilmott
• 101 quizz qui banquent – Mathématiques et finance sont-elles indépendantes ?, Gilles Pagès
• Options, futures et autres actifs dérivés, John Hull
• Options, futures et autres actifs dérivés : Corrigés des exercices, John Hull
• Frequently Asked Questions in Quantitative Finance (Anglais), Paul Wilmott
• Paul Wilmott Introduces Quantitative Finance (Anglais), Paul Wilmott
• Heard on the Street: Quantitative Questions from Wall Street Job Interviews (Anglais), Timothy Falcon Crack
• A Practical Guide To Quantitative Finance Interviews (Anglais), Xinfeng Zhou
• 150 Most Frequently Asked Questions on Quant Interviews (Anglais), Dan Stefanica, Rados Radoicic, Tai-Ho Wang
• Interview Math: Over 50 Problems and Solutions for Quant Case Interview Questions (Anglais), Lewis C. Lin
• Quant Job Interview Questions and Answers (Anglais), Mark Joshi
• Cracking the Coding Interview: 150 Programming Questions and Solutions (Anglais), Gayle Laakmann McDowell
• Vault Guide to Advanced Finance and Quantitative Interviews (Anglais), Jennifer Voitle

La passion des mathématiques ou des probabilités vous pousse à vouloir découvrir le métier d’analyste quantitatif ? Ce métier exigeant, très technique, n’est que rarement décrit dans les médias. Pourtant, il s’inscrit à part entière dans les lignes de métiers vitales en front office, à l’instar des traders, commerciaux ou structureurs. Il s’avère également bien payé, même si la compensation totale possède une part variable moindre par rapport aux métiers cités précédemment.

En quoi consiste le métier d’analyste quantitatif ? Est-il vrai que l’on ne croise que des profils scientifiques dans les rangs des quants ? Quelles sont les écoles ou universités qui permettent de devenir quant ? Quelles sont les modélisations mathématiques typiques auxquelles se livrent ces analystes ? S’agit-t-il uniquement de savoir calculer le prix d’options exotiques ?

Voici une sélection de livres sur le métier d’analyste quantitatif, expliquant le quotidien de ces professionnels de la finance aussi bien que les défis intellectuels auxquels ils font face.

• La Finance quantitative : En 50 questions, Paul Wilmott
• Introduction à la finance quantitative, Benjamin Williams
• Finance quantitative, Jean-Noël Dordain, Niladri Singh
• An Introduction to Quantitative Finance (Anglais), Stephen Blyth
• Financial Engineering: The Evolution of a Profession (Anglais), Tanya S. Beder
• How I Became a Quant: Insights from 25 of Wall Street’s Elite (Anglais), Richard R. Lindsey
• Introduction to Quantitative Finance – A Math Toolkit (Anglais), Robert R. Reitano
• My Life as a Quant: Reflections on Physics and Finance (Anglais), Emanuel Derman
• The Quants: How a New Breed of Math Whizzes Conquered Wall Street and Nearly Destroyed It (Anglais), Scott Patterson
• The Big Short: Inside the Doomsday Machine (Anglais), Michael Lewis
• Nerds on Wall Street: Math, Machines and Wired Markets (Anglais), Theodore R. Aronson
• Physicists on Wall Street and Other Essays on Science and Society (Anglais), Jeremy Bernstein
• Paul Wilmott Introduces Quantitative Finance (Anglais), Paul Wilmott
• Quantitative Finance: Back to Basic Principles (Anglais), Adil Reghai
• Student Solutions Manual to Accompany Introduction to Quantitative Finance – A Math Toolkit (Anglais), Robert R. Reitano
• The Complete Guide to Capital Markets for Quantitative Professionals (Anglais), Alex Kuznetsov
• Quantitative Finance: A Simulation-Based Introduction Using Excel (Anglais), Matt Davison

Une alternative intéressante au modèle de Black-Scholes, dans le cadre de la valorisation d’options, est l’utilisation d’arbres binomiaux. Cette méthode a été décrite par Cox, Ross et Rubinstein en 1979. Elle consiste à déterminer le prix d’une option à partir des différentes trajectoires que peut prendre le sous-jacent. Comment calculer le prix d’une option à partir d’un arbre binomial simple ? Exemple numérique.

Arbre binomial à une période

Prenons l’exemple d’une option d’achat sur le groupe industriel Safran. Ce call européen porte sur une échéance de 6 mois, avec un prix d’exercice de 50€. Le cours de l’action est actuellement de 47€ et le taux d’intérêt sans risque pour une période de 6 mois est de 5% per annum. Les analystes qui suivent le titre pensent que celui-ci peut évoluer vers seulement deux prix dans un semestre : soit 55€ si les résultats financiers sont à la hauteur des espérances, soit 45€ si la compagnie n’atteint pas ses objectifs. Le call européen ne sera donc dans la monnaie que dans le premier cas de figure, et il revêtira alors une valeur de 55 – 50 = 5€. Dans l’autre cas, il termine hors de la monnaie et sa valeur sera nulle.

S’il n’existe aucune opportunité d’arbitrage, il est alors possible de constituer un portefeuille sans risque contenant à la fois une certaine quantité de l’action et une unité de l’option, de façon à ce que ce portefeuille ait une rentabilité égale au taux sans risque. Puisque le marché ne contient que ces deux actifs, il est dit « complet ». Combien faut-il d’unités Δ d’actions ?

Pour répondre à cette question, il suffit simplement de résoudre l’équation où un portefeuille contient Δ actions pour une option vendue, et de constater les deux valeurs finales potentielles du portefeuille. Premier scénario, Δ actions à 47€ sont achetées initialement et deviennent Δ actions à 55€ à l’échéance, avec un call ayant une valeur de 5€. Deuxième scénario, Δ actions à 47€ sont achetées initialement et deviennent Δ actions à 45€ à l’échéance, avec un call n’ayant aucune valeur puisqu’ayant terminé en dehors de la monnaie. Autrement dit :

D’où :

En détenant 0,5 action pour un call vendu, un portefeuille serait donc sans risque. Dans le cas où l’action grimperait à 55€, un tel portefeuille vaudrait 55 * 0,5 – 5 = 22,5€. Dans le cas où l’action descendrait à 45€, un tel portefeuille vaudrait 45 * 0,5 = 22,5€, une valeur équivalente à l’autre scénario, ce qui est bien ce que nous cherchions.

Ce portefeuille sans risque doit être actualisé, logiquement, au taux sans risque, afin de connaître sa valeur initiale. Celle-ci est de

Avec f comme valeur de l’option en date initiale, le portefeuille est ainsi constitué :

Ce portefeuille est égal à la valeur présente du portefeuille sans risque calculé précédemment. Autrement dit :

L’option d’achat ayant un prix d’exercice à 50€ et une maturité de 6 mois, calculé à l’aide de cet arbre binomial à une période, et sous réserve d’absence d’opportunité d’arbitrage, vaut 1,56€.

Un variance swap est un actif financer comme un autre, il est donc possible de calculer son mark-to-market ou juste valeur. Au commencement, s’agissant d’un swap, celle-ci est de zéro. Mais comment calculer le mark-to-market d’un variance swap en temps t (t₀ < t < T) ? Rappel : définition du variance swap

Pour rappel, un swap de variance est un contrat permettant d’échanger un montant de variance réalisée contre une variance strikée, défini par l’équation suivante :

Avec Variance Notional = Vega Notional / ( 2 * Strike)

Calcul du mark-to-market

Un variance swap possède une caractéristique remarquable qui rend l’évaluation de son mark-to-market simplifiée : la variance est additive. Pour ce type de contrat, on peut donc dire que :

Pour un variance swap évalué en temps t, on peut donc identifier une variance déjà réalisée de t₀ jusqu’à t, et une variance encore non réalisée qui ira de t à T. En demandant un prix pour VarSwap en date t avec maturité T, on est donc capable de contrebalancer la partie non réalisée.

Le mark-to-market d’un variance swap est donc égal à :

Avec :
• K_var : la volatilité striké initialement
• NewK_var : le strike d’un variance swap commençant en t, avec maturité T
• PV_t(T) : valeur d’un zéro-coupon en t avec maturité T
• RV(0,t) : la volatilité réalisée depuis le commencement du swap jusqu’à t
• N : notionnel du swap (exprimé en variance)

Exemple de calcul

Soit un variance swap initial d’un an, dont le strike était de 14% et le Vega notionnel était de $100,000. Au bout du 9ème mois, on cherche à évaluer la juste valeur de ce swap, sachant que la volatilité réalisée jusqu’à présent est de 15%, que le taux d’intérêt 3 mois est de 3% et que le strike d’un variance swap 3 mois serait de 17%.

Imposibilité d’appliquer la formule pour un volatility swap

Si la variance est additive, la volatilité ne l’est pas. Par conséquent, les formules ci-dessus ne peuvent être appliquées pour le calcul du mark-to-market d’un volatility swap.

Trader un variance swap peut s’avérer rapidement hasardeux à cause de la convexité du payoff de celui-ci. En effet, pour un vendeur de variance, lorsque la volatilité réalisée observée sur un sous-jacent tend vers de grandes valeurs, la perte potentielle est virtuellement illimitée. D’où la nécessité de fixer un cap sur la volatilité réalisée (en général 2,5 fois le strike), acceptée comme une convention dans le marché. Mais qu’entend-on au juste par risque de convexité ?

Comprendre la convexité d’un variance swap

Pour rappel, un variance swap est un contrat d’échange de variance réalisée vs variance strikée. Le profil d’un variance swap est le suivant :

Avec :

Et :

Avec :
– S_t = niveau du sous-jacent en date t
– N = nombre d’observations (jours de trading)

La première équation montre clairement le profil convexe du variance swap. Pour un investisseur étant long d’un variance swap (ie recevant la variance réalisée et payant une variance strikée à maturité), le gain potentiel est illimité tandis que la perte maximale est limitée à :

Pour un Vega Notional de $100,000 et un strike de 20%, l’investisseur long du variance swap ne peut donc perdre plus de ($100,000/2) * 20 = $1,000,000.

La convexité d’un variance swap en image

Convexité et durée de vie du Variance Swap

Plus la durée de vie du Variance Swap est courte, plus le risque de convexité est important. Ceci est dû au nombre limité d’observations (N expected). En effet, imaginons un Variance Swap d’un mois sur une action, soit à peu près 22 jours de trading. Si, sur l’une de ces 22 observations, l’action, dont la volatilité ordinaire est de 16% (soit approximativement +/-1% de variation quotidienne), décroche sur un seul jour de 5% suite à un crash sur le marché ou à une mauvaise nouvelle, il n’existe que 21 observations pour « compenser » ce mouvement exceptionnel et retrouver son régime de volatilité normal. La volatilité réalisée sera à terme particulièrement tirée à la hausse par les mouvements brusques étant survenus. Un tel risque serait atténué dans un Variance Swap d’une durée supérieure.

Un trader d’option peut être amené à couvrir son risque de volatilité. Il peut le faire soit en prenant une position inverse sur d’autres options pour annihiler son vega, soit directement à travers des produits basés directement sur la volatilité, tels que des Variance ou Volatility Swap. Un spéculateur peut, quant à lui, directement prendre une position sur la volatilité d’un sous-jacent.

Le Variance Swap : Définition

Le Variance Swap (VarSwap) est un contrat permettant d’échanger un montant de variance réalisée sur un laps de temps donné, contre un montant de variance fixé à l’avance. L’échange se fait selon la formule suivante :

S’agissant d’un swap, aucun flux n’est échangé en date initial. A maturité, si la volatilité réalisée est supérieure à la volatilité strikée, le vendeur du VarSwap paie le montant décrit par l’équation ci-dessus. Si la volatilité réalisée est inférieure à la volatilité strikée, le vendeur du VarSwap reçoit le montant décrit par l’équation ci-dessus.

Pour un VarSwap où l’investisseur est acheteur de volatilité, les flux potentiels sont les suivants :

Le Variance Swap, un exemple de calcul

Sans entrer dans les méthodes de construction du VarSwap, il convient de définir les différents termes de l’équation pour comprendre quel est le montant exact de l’échange à maturité.

Variance Notional. Il s’agit du montant de la transaction. Celui-ci est égal à :

Avec cette convention, si la volatilité réalisée est supérieure d’un point à la volatilité strikée, le profit du VarSwap est approximativement égal au Vega Notional (pour une volatilité réalisée assez proche du strike). Les traders s’expriment donc en Vega Notional car il s’agit d’une mesure permettant de calculer plus rapidement le profit potentiel à tirer d’une telle transaction.

Exemple : prenons un VarSwap 1 an sur le S&P500, avec un Vega Notional de 100,000 USD, et un Strike de 12%. Si, dans un an, la volatilité réalisée est de 13%, l’investisseur reçoit un montant proche de (13 – 12) * 100,000 = 100,000 :

Realized Vol. La volatilité d’un sous-jacent est définie de plusieurs façons mathématiques. On sait qu’il s’agit de l’écart type, c’est-à-dire de la propension d’un élément à s’écarter de sa moyenne. Pour un VarSwap, la définition de la volatilité réalisée est la suivante :

Avec :
– S_t = niveau du sous-jacent en date t
– N = nombre d’observations (jours de trading)

Strike. Il s’agit tout simplement du montant de volatilité accordée entre les deux contreparties avant d’entrer dans la transaction. Il s’agira de la référence du swap.

Le cap du Variance Swap à 2,5

Généralement, les VarSwap sont échangés avec un cap de 2,5x sur la volatilité réalisée. Ceci est dû au risque de convexité évident dans le calcul d’une volatilité. En effet, sans cap, un investisseur étant short vol peut théoriquement perdre une somme infinie (σ2), il n’existe pas de borne supérieure mais simplement une borne inférieure (0). Par exemple, pour un VarSwap avec un strike de 30, la plus haute volatilité réalisée observable dans le contrat sera 30 x 2,5 = 75. Le facteur de 2,5 n’a pas réellement de fondement mathématique, il s’agit simplement d’une convention adoptée par les traders sur le marché.

Utilisation de Variance Swap pour construire des Trades de dispersion

Les Variance Swaps sont également connus pour leur rôle dans les trades de dispersion où l’investisseur prend une vue sur la corrélation entre un indice et ses sous-jacents. Généralement, l’investisseur souhaite être short correlation. Pour cela, il achète des variance swaps sur chacun des constituants d’un indice et vend un variance swap sur l’indice lui-même.

Le delta d’une option, ∆, représente la sensibilité du prix de cette dernière face à un changement de prix du sous-jacent. Il s’agit de la pente de la courbe reliant la valeur de l’option au cours de l’action. Chacun sait que le delta d’un call à la monnaie vaut 0,5. En d’autres termes, si l’action augmente de 1 euros, le prix d’une option d’achat à la monnaie augmentera de 0,5 euros. Mais pourquoi ?

Le delta d’une option à la monnaie, un calcul simplifié

Adoptions un raisonnement simplifié (parmi tant d’autres). Pour rappel, le delta est défini mathématiquement comme suit :

Et l’on sait que pour un call, il est équivalent à :

N étant la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, et d₁ étant lui-même équivalent à :

Que se passe-t-il lorsque l’option est à la monnaie ?

Dans ce cas, K = S. D’où :

d₁ devient alors :

Le taux d’intérêt, r, est négligeable, car voisin de zéro (il ne s’élèvera dans la réalité qu’à quelques pourcents, 0,0x).

d₁ devient donc :

Pour une action, la volatilité implicite du sous-jacent, σ, sera probablement de l’ordre de quelques dizaines de pourcent, donc inférieur à 1. Pour une option relativement courte, le temps, T, sera inférieur à 1 puisqu’il est exprimé en nombre d’années. En d’autres termes, le numérateur sera très probablement voisin de zéro. Par exemple, pour une volatilité implicite de 20% et une maturité de trois mois, d₁ deviendrait égal à 0,2 * 0,25 / 2 = 0,025, soit une valeur très proche de zéro.

Or, nous savons que N(d₁) est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, qui va de 0 à 1 en valeur. N(0+) prend donc une valeur proche de 0,5+.

Connaître le delta d’une option, c’est donc tout simplement avoir en tête l’allure de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, qui n’est pas des plus compliquées !

L’ouvrage indispensable par excellence.