La plupart des acteurs en finance de marché et plus précisément sur le marché des options savent très bien comment lire un payoff d’une option, à partir d’un graphique. Comment lire un payoff ?

Celui-ci représente le gain ou la perte réalisée à maturité, en fonction du niveau final du sous-jacent et des différents événements étant survenus lors de la vie de l’option (exemples : différents niveaux atteins pour une option asiatique, ou événements de barrière dans le cadre d’options exotiques). Voici un exemple, pour une option d’achat (call) :

Toutefois, on peut préferer disposer du payoff d’une option à partir d’une formule mathématique, afin d’éviter toute ambiguïté. A quoi cela ressemble-t-il ?

Qu’est-ce que le payoff d’une option ?

La forme graphique d’un payoff est certainement la façon la plus intuitive de comprendre une option ou un produit structuré. Mais il ne s’agit que de l’interprétation visuelle d’une formule clairement définie.

D’une certaine manière, la formule mathématique d’un payoff d’une option est l’expression de l’arbre des possibilités. Cela donne aussi le montant précis de remboursement / perte. Il est d’autant plus utile de savoir lire une formule mathématique que tous les émetteurs de produits structurés ne fournissent pas nécessairement de graphiques pour expliquer leurs produits. Sans oublier que certains payoffs ne sont pas aisément représentables graphiques, voire impossibles à dessiner.

Prenons donc l’exemple d’une formule simple, à travers un produit structuré à capital garanti donnant une exposition partielle à la performance positive du sous-jacent (plus communément appelé « bond + call »). A travers ce produit, l’investisseur bénéficierait de 70% de la hausse potentielle d’une action. La formule d’un tel produit structuré à capital protégé serait la suivante :

Avec :
– « Nominal » : le montant investi.
– « S_T » : le niveau finale de l’action
– « S₀ » : le niveau initial de l’action

Prenons la partie droite de l’équation :

Il s’agit simplement de l’expression mathématique d’un call. S’agissant d’une option que l’on a achetée, le minimum que l’investisseur retrouvera à maturité sera de 0 (partie gauche entre crochets).

La partie droite entre crochets résume la performance du sous-jacent. L’investisseur bénéficie donc bien du maximum entre 0 et la performance du sous-jacent, autrement dit seulement de la performance positive.

Au total, l’investisseur récupère donc sa somme de départ à 100%, plus 70% de la performance positive potentielle du sous-jacent.

Un exemple numérique : Un bond + call classique

Soit la banque ABC, qui vend un produit à capital protégé à un investisseur. Ce produit n’est protégé qu’à 95%. Autrement dit, si l’investisseur donne 100 euros à sa banque, il ne récupèrera au minimum que 95 euros à maturité, si tant est qu’aucun évènement de défaut ne soit survenu du côté de la banque.

Ce produit à une maturité d’un an, et donne une exposition de 60% à la performance de l’Euro Stoxx 50 sur un an. L’Euro Stoxx 50 est aujourd’hui à 2000 points. L’investisseur souhaite acheter ce produit structuré et investir pour cela 1 million d’euros de sa poche.

L’expression mathématique de ce produit est donc la suivante :

Que se passe-t-il à maturité ?

Deux cas de figure peuvent se présenter. Soit dans un an, l’Euro Stoxx 50 finit en dessous de son niveau initial, et dans ce cas l’investisseur retrouve 95% du capital initialement investi. Soit il finit en hausse, et dans ce cas l’investisseur retrouve 95% du capital initialement investi + la performance positive de l’Euro Stoxx 50.

Exemple 1 : l’Euro Stoxx finit à 1000 points.
Le payoff obtenu est alors :

L’investisseur récupère 950.000 euros, soit une perte de 5% par rapport au capital investi initialement.

Exemple 2 : l’Euro Stoxx finit à 3000 points.
Le payoff obtenu est alors :

L’investisseur récupère 1.250.000 euros, soit un gain de 25% par rapport au capital investi initialement.

Le call ou option d’achat est un instrument financier donnant à son détenteur la possibilité – et non l’obligation – d’acheter un sous-jacent à une date ultérieure, à un prix fixé à l’avance. Le put ou option de vente est un instrument financier donnant à son détenteur la possibilité – et non l’obligation – de vendre un sous-jacent à une date ultérieure, à un prix fixé à l’avance. Un investisseur peut donc, en théorie, prendre quatre positions différentes sur de telles options : acheter un call, vendre un call, acheter un put ou vendre un put. Quelles allures ont les payoffs de ces positions, pour des options européennes ?

Définition du contrat

Partons du principe que l’on cherche à définir les payoffs pour des calls et des puts européens, de strike (K) de 100 euros, à la monnaie (S₀ = 100). Calls et puts sont échangés pour un prix de 5 euros sur le marché. S_T désigne le prix final de l’action.

Achat de call : payoff

Si l’on tient compte de la prime versée initialement, l’investisseur ne commence à gagner de l’argent que si l’action finit au-dessus de 105 euros. Lorsque S_T > S₀, le payoff est égal à S_T – K. Si S_T ≤ S₀, le payoff est égal à 0.

Exemple : si l’action termine à 120 euros, l’investisseur réalise un gain net de 120 – 100 – 5 = 15 euros (Prix final – Prix d’exercice – Coût de l’option). Si l’action termine en revanche à 80 euros, l’investisseur ne gagne rien, et perd la prime qu’il avait versée pour acheter le contrat (5 euros).

Vente de call : payoff

Si l’on tient compte de la prime versée initialement, l’investisseur ne commence à gagner de l’argent que si l’action finit en-dessous de 105 euros. Lorsque S_T > S₀, le payoff est égal à K – S_T. Si S_T ≤ S₀, le payoff est égal à 0.

Exemple : si l’action termine à 120 euros, l’investisseur réalise une perte nette de 120 – 100 – 5 = 15 euros (Prix final – Prix d’exercice – Prime de l’option). Si l’action termine en revanche à 80 euros, l’investisseur ne perd rien, son gain est équivalent à la prime pour laquelle il a vendu l’option (5 euros).

Achat de put : payoff

Si l’on tient compte de la prime versée initialement, l’investisseur ne commence à gagner de l’argent que si l’action finit en-dessous 95 euros. Lorsque S_T > S₀, le payoff est égal à 0. Si S_T ≤ S₀, le payoff est égal à K – S_T.

Exemple : si l’action termine à 120 euros, l’investisseur ne gagne rien, et perd la prime qu’il avait versée pour acheter le contrat (5 euros). Si l’action termine en revanche à 80 euros, l’investisseur réalise un gain net de 100 – 80 – 5 = 15 euros (Prix d’exercice – Prix final – Prime de l’option).

Vente de put : payoff

Si l’on tient compte de la prime versée initialement, l’investisseur ne commence à gagner de l’argent que si l’action finit au-dessus de 95 euros. Lorsque S_T > S₀, le payoff est égal à 0. Si S_T ≤ S₀, le payoff est égal à S_T – K.

Exemple : si l’action termine à 120 euros, l’investisseur ne perd rien, son gain est équivalent à la prime pour laquelle il a vendu l’option (5 euros). Si l’action termine en revanche à 80 euros, l’investisseur réalise une perte nette 100 – 80 – 5 = 15 euros (Prix d’exercice – Prix final – Prime de l’option).